最小二乘法及C++/C语言实现

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢? 监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面…

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

(1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。

(2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。

(3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

样本回归模型:

                  其中ei为样本(Xi, Yi)的误差

平方损失函数:

                      

则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

                   

根据数学知识我们知道,函数的极值点为偏导为0的点。

解得:

                   

这就是最小二乘法的解法,就是求得平方损失函数的极值点。

最小二乘法的C语言实现:

应用笔记:

在调试智能车时用到了线性最小二乘法,特摘录如下:

a1和a0用于求得β1和β2,而s2和s1用于求得标准差和方差。

改进后的使用整数来减小MCU计算时间的代码如下:

部分内容来自:http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html  

未经允许不得转载:TacuLee » 最小二乘法及C++/C语言实现

赞 (0)

评论 0

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址